[로고스토리] 제피멩코 방정식(Jefimenko Equation)

안녕하세요

오늘은 저번에 올렸던 게이지 변환에 이어서 제피멩코 방정식에 대해 알아보도록 하겠습니다. 제피멩코 방정식을 이해하시려면, 저번에 올렸던 게이지 변환에 대해서 읽어보고 오시는 것을 추천드립니다. 

 

저번에 올렸던 로렌츠 게이지를 통해 V와 A를 더 일반적으로 '시간'까지 고려해서 쿨롱게이지는 맞지 않는 '인과율'을 맞춰보도록 하겠습니다.  저번에 유도했듯, 

$$ \bigtriangledown ^2V-\mu _0\varepsilon _0\frac{\partial ^2V}{\partial t^2}=-\frac{\rho }{\varepsilon _0}$$

$$ \bigtriangledown ^2A-\mu _0\varepsilon _0\frac{\partial ^2A}{\partial t^2}=-\mu _0J$$

이다. 여기서 우선 전하밀도와 전류밀도가 시간에 대해 일정하다고 가정해 봅시다. 그렇다면 $$ \bigtriangledown ^2V=-\frac{\rho }{\varepsilon _0}$$

$$ \bigtriangledown ^2A=-\mu _0J$$입니다. 이 식의 해는 다음과 같습니다. 

$$V(r)=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\int \frac{\rho (r')}{\eta }d\tau '$$

$$A(r)=\frac{\mu _0}{4\pi}\int \frac{J(r')}{\eta }d\tau '$$

여기서 시간을 따져야 하는데, 시간 t의 전하밀도와 전류밀도가 동시에 A와 V를 결정시키는 것이 아닙니다. E와 B는 빛의 속도로 오니까 V와 A도 빛의 속도로 와서 도착한 그 E와 B에 결정이 되야 하므로, 시간 t의 V와 A는 굉장히 짧은 시간 전인 어떤 지연된 시간 $$t_{retarded}$$일때의 전하밀도와 전류밀도가 만든거라고 생각해볼 수 있습니다. 이제 식을 조금씩 수정해 보겠습니다. 

$$V(r,t)=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\int \frac{\rho (r',t_{retarded})}{\eta }d\tau '$$

$$A(r,t)=\frac{\mu _0}{4\pi}\int \frac{J(r',t_{retarded})}{\eta }d\tau '$$

이제 저 지연시간을 t로 나타내 보겠습니다. 어떤 시간 t일때의 V와 A는 그 시간 t보다 t'전의 전하밀도와 전류밀도에 의한 건데, 그 t'이란 시간은 빛의 속도 c로 거리 에타만큼 가는 데 걸리는 시간일 것입니다. (전자기장이 빛의 속도로 오기 때문)

$$\therefore t'=\frac{\eta }{c}$$

$$\therefore t_{retarded} =t-t'=t-\frac{\eta }{c}$$

그래서 아까 그 식은 지연시각에서의 전하밀도와 전류밀도를 적분한 것이므로 '지연전위(retarded potential)'라 합니다.

이제 전기장을 한번 보도록 하겠습니다. 여기서 전기장은 $$E=-\bigtriangledown V-\frac{\partial A}{\partial t}$$ 요 관계식을 사용하도록 하겠습니다. 

우선 gradient V부터 따져보도록 하겠습니다.

$$\bigtriangledown V(r,t)=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\bigtriangledown \int \frac{\rho (r',t_{retarded})}{\eta }d\tau '$$

$$=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0} \int(\bigtriangledown \rho (r',t_{retarded})\cdot \frac{1}{\eta }+\rho (r',t_{retarded})\cdot \triangledown (\frac{1}{\eta }))d\tau '$$

여기서 문제가 되는 것은 $$\triangledown \rho (r',t_{retarded})$$ 이 부분입니다. 여기서 chain rule을 사용해 보도록 하겠습니다. 

$$\frac{dp}{dt_{retarded}}\frac{dt_{retarded}}{d\eta }\frac{d\eta }{dr}=\dot{\rho}\cdot\frac{d}{d\eta }(t-\frac{\eta }{c})\cdot\frac{d}{dr}\eta =\dot{\rho}(-\frac{1}{c})\bigtriangledown \eta $$ 

여기서 

$$\bigtriangledown \eta =\hat{\eta }, \bigtriangledown \frac{1}{\eta }=-\frac{\eta }{\eta ^2}$$를 적용시켜 주면, 

$$\bigtriangledown V(r,t)=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\int \left ( -\frac{1}{c}\dot{\rho }\hat{\eta }-\rho \frac{\hat{\eta} }{\eta ^2} \right )d\tau '$$

또한, $$\frac{\partial A}{\partial t}=\frac{\mu _0}{4\pi }\int \frac{\dot{J}(r',t_{retarded})}{\eta }d\tau '$$이제 드디어 E(r,t)를 기술할 수 있게 되었습니다.

 $$E=-\bigtriangledown V-\frac{\partial A}{\partial t}$$

$$=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\int \left ( \frac{1}{c}\dot{\rho }\hat{\eta }+\rho \frac{\hat{\eta }}{\eta ^2} \right )d\tau '-\frac{\mu _0}{4\pi }\int \frac{\dot{J}(r',t_{retarded})}{\eta }d\tau '$$

$$=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\left ( \int \frac{\rho (r,t_{retarded})}{\eta ^2}+\frac{\dot{\rho }(r,t_{retarded})}{c}\hat{\eta } \right )d\tau '-\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\frac{1}{c^2}\int \frac{\dot{J}(r',t_{retarded})}{\eta }d\tau '$$

$$=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\left ( \int \left [ \frac{\rho (r,t_{retarded})}{\eta ^2}+\frac{\dot{\rho }(r,t_{retarded})}{c}\hat{\eta }-\frac{\dot{J}(r',t_{retarded})}{c^2\eta }\right ] d\tau '\right )$$

이것이 시간과 전하밀도의 변화도 고려한 E에 관한 식이고, 이제 B를 계산해 보도록 하겠습니다. 

$$B=\bigtriangledown \times A=\bigtriangledown \times \frac{\mu _0}{4\pi }\int \frac{J(r',t_{retarded})}{\eta }d\tau '$$

이 식을 계산하기 위해 

$$\bigtriangledown \left ( \frac{A}{g} \right )=\frac{g(\bigtriangledown \times A)+A(\bigtriangledown g)}{g^2}$$ 이 공식을 사용하면, 

$$\bigtriangledown \times \frac{\mu _0}{4\pi }\int \frac{\dot{J}(r',t_{retarded})}{\eta }d\tau '$$

$$=\frac{\mu _0}{4\pi}\int \left ( \frac{\eta (\bigtriangledown \times J(r',t_{retarded}))}{\eta ^2}+\frac{J(r',t_{retarded}\times \hat{\eta })}{\eta ^2} \right )d\tau '$$

$$=\frac{\mu _0}{4\pi}\int \left ( \frac{(\bigtriangledown \times J(r',t_{retarded}))}{\eta}+J(r',t_{retarded})\times \bigtriangledown \left ( \frac{1}{\eta } \right ) \right )d\tau '$$

여기서 curl of J를 따져야 하는데,  x선분만 계산해보고 일반화를 해보겠습니다. 

$$(\bigtriangledown \times J)_x=\frac{\partial J_z}{\partial y}-\frac{\partial y_z}{\partial z}$$

$$\frac{\partial J_z}{\partial t_{retarded}}\frac{\partial \eta }{\partial y}\frac{\partial t_{retarded}}{\partial \eta }=\dot{J_z}(-\frac{1}{c})\frac{\partial \eta }{\partial y}$$

$$\frac{\partial J_y}{\partial y}=\frac{\partial J_y}{\partial t_{retarded}}\frac{\partial \eta }{\partial z}\frac{t_{retarded}}{\partial \eta }=\dot{J}_y(-\frac{1}{c})\frac{\partial \eta }{\partial z}$$

$$(\bigtriangledown \times J)_x=-\frac{1}{c}\left ( \dot{J}_z\frac{\partial \eta }{\partial y}-\dot{J}_y\frac{\partial \eta }{\partial z} \right )=-\frac{1}{c}(\dot{J}\times (\bigtriangledown \eta ))_x=-\frac{1}{c}(\dot{J}\times \hat{J})_x$$

위의 식은 저렇게 정리할 수 있습니다.

$$\frac{\mu _0}{4\pi }\int \left ( \frac{\bigtriangledown \times J(r',t_{retarded})}{\eta }+J(r',t_{retarded})\times \bigtriangledown (\frac{1}{\eta })) \right )d\tau '$$

$$=\frac{\mu _0}{4\pi }\int \left ( \frac{(\dot{J}\times \hat{\eta })}{\eta }+J(r',t_{retarded}\times \left ( \frac{\hat{\eta }}{\eta ^2} \right ) \right )d\tau '$$

$$=\frac{\mu _0}{4\pi }\int \left\{ \left ( \frac{J(r',t_{retarded})}{\eta ^2}+\frac{\dot{J}(r',t_retarded)}{c\eta } \right )\times \hat{\eta }\right\}$$

이를 제피멩코 방정식(Jefimenko Equation)이라고 합니다

이제 2학년이 된 2214 이근형