입자 분포 확률과 Fermi 준위, 캐리어 농도
반도체 캐리어 농도는 반도체 분석 시에 굉장히 중요합니다. 그러나, 반도체 캐리어는 고정되어 있는 것이 아니라 끊임없이 움직이고 있죠. 또한, 크기도 매우 작습니다. 그래서 이 농도를 측정하기가 쉽지 않은데, 이를 측정하는 방법론으로써 페르미 디랙 분포 등 통계역학적 방법론을 사용해서 분석합니다. 오늘은 이에 대해 알아보도록 하겠습니다.
우선 반도체 내에 존재하는 전자들의 이동에 의해 결정되는 전류밀도는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$J=\sum Q'N\upsilon \ [A/cm^2]$$
허용에너지 대역에만 존재하는 전자들과 정공들은 서로 구별이 불가능하나, 파울리의 배타원리에 의해 에너지에 따른 분포가 제한되죠. 반도체 내의 전도대역 전자 농도(n)과 가전자 대역의 정공 농도(p)는 아래와 같이 나타낼 수 있으며, 재료의 특성(원자의 종류, 배열 형태)에 의해 결정되는 허용에너지 상태밀도함수(g(E))와 재료와 무관한 확률 분포함수(f(E))에 의해 결정됩니다.
$$N \ [cm^{-3}]=\int_{allowed}g_i(E)f_i(E)dE \ \begin{cases}n\ = \int_{E_C}^{CB}g_Cf_{FD}(E) \ dE \\p\ = \int_{VB}^{E_V}g_V(E)(1-f_{FD}(E)) \ dE \end{cases}$$
(: 허용에너지 대역에 존재하는 전자와 정공의 농도)
$$f(E)=\frac{N(E)}{g(E)}$$
( = {전자에 의해 채워진 상태밀도} / {허용된 에너지 상태밀도}, : 분포함수 - 특정 에너지 준위에 전자가 존재할 확률)
따라서 전도대역 전자 농도는 f(E)에 의해 결정된다는 거죠. 가전자 대역의 정공 농도를 구할 때는 에너지 준위가 비어 있을 확률을 이용하며, 아래와 같이 나타냅니다.
$$f_h(E) \ = \ 1 \ - f(E)$$
다수의 전자가 존재하는 반도체 내의 전자와, 정공은 구별이 안되긴 해도 파울리 배타 원리를 따르기 때문에, 전자와 정공은 페르미 디랙 분포함수에 의해 분포가 결정된다는 것입니다.
이제 페르미-디랙 분포함수를 유도해보도록 하겠습니다. 위에서 설명했듯이, 페르미-디랙 분포함수는 파울리 배타 원리가 적용되는 전자의 존재 확률을 나타냅니다. 즉, \(f_{FD}(E)\)는 아래 그림을 이용해 구할 수 있습니다.

\(g_i\)개의 허용에너지 상태밀도가 존재하는 i번째 에너지 준위에 \(N_i\)개의 전자가 파울리 배타 원리에 따라 배열되는 방법의 수는 다음과 같습니다.
$$W_{io} = (g_i)(g_i-1) \dots (g_i-(N_i-1))= \frac{g_i!}{(g_i-N_i)!} $$
전자는 구분이 불가능하므로, \(N_i!\)개의 배열은 1개의 동일한 배열로써 인정될 수 있다. 이로 인한 중복의 수를 고려한 순수 배열 방법의 수와 전자의 수가 모두 N개인 경우, 모든 허용에너지 준의를 고려한 전자의 배열 방법의 수는 다음과 같습니다.
\(W_i=\frac{g_i!}{(g_i-N_i)!N_i!}\) : \(g_i\)개의 허용에너지 준위에 구별할 수 없는 \(N_i\)개의 전자 배열 방법 수
\(W=\prod_{i=1}^n\frac{g_i!}{(g_i-N_i)!N_i!}\) : 구별 불가능한 N개의 전자를 모든 허용에너지 준위에 배열하는 방법 수
\(N=\sum_{i=1}^nN_i\) : 허용된 각각의 에너지 준위에 배열된 전자의 총합은 N
여기서 스털링 근사를 이용해서 정리하면, 반도체 안의 전자 농도와 전자의 에너지를 나타낼 수 있습니다.
$$ln \ W = \sum_i^{}ln \ g_i!-\sum_i^{}ln \ (g_i-N_i)!-\sum_i^{}ln \ N_i=\sum_i^{}[g_iln \ g_i -(g_i-N_i)ln \ (g_i-N_i)-N_iln \ N_i]$$
\(N=\sum_{i=1}^{n}N_i = \phi\) (=const) ; \(E=\sum_{i=1}^{n}N_iE_i=\psi\) (=const)
반도체 내의 전자들이 열평형 상태를 유지하기 위해서 최소 에너지를 가지는 배열을 택하기에, 에너지 변화가 없음을 나타내는 관계식을 이용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
$$\frac{\partial W}{\partial N_j} = 0 \leftrightarrow\frac{\partial ln W}{\partial N_j}+\alpha\frac{\partial \phi}{\partial N_j}+\beta\frac{\partial \psi}{\partial N_j}=0 \ ; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \alpha\equiv\frac{E_F}{kT}, \beta \equiv -\frac{1}{kT} $$
$$ln(g_j-N_j)-ln(N_j)=-\alpha-\beta E_j$$
따라서, \(f_{FD}(E_j) \equiv\frac{N_j(E_j)}{g_i(E_j)}=\frac{1}{1+exp(\frac{E_j-E_F}{kT})}\) 라고 표현할 수 있다는 거죠.
여기서 \(E_f\)는 페르미-디랙 분포함수를 나타내는 기준 에너지로써, 페르미 에너지 준위라고도 하며, 전자에 의해 채워져 있을 확률이 50%인 에너지 준위입니다. 다수의 입자가 존재할 때, 입자의 구별이 불가능하나 파울리 배타 원리를 따르는 특정한 에너지 준위에 전자가 채워질 확률을 나타내는 페르미 -디랙 분포함수로써 다음의 결과를 얻을 수 있습니다.
$$f_{FD}(E)\equiv\frac{N(E)}{g(E)}=\frac{1}{1+exp(\frac{E-E_F}{kT})} \ \ \ (0 \leq f_{FD}(E) \leq 1)$$

위 그림에서 보다싶이, 온도가 증가할수록 페르미 준위 \(E_F\)보다 높은 에너지 준위에 전자가 채워질 확률이 증가하고, \(E_F\)보다 낮은 에너지 준위는 비어 있을 확률이 증가합니다. 이는 온도가 높을수록 전자가 얻을 수 있는 열에너지가 증가하여 전자가 높은 에너지 준위로 여기될 가능성이 증가하기 때문입니다. 그러나 어떤 온도에서도 페르미-디랙 분포함수를 나타내는 기준이 되는 에너지인 페르미 준위에 전자가 존재할 확률은 0%입니다.
특히 T=0[K]에서는 페르미 준위보다 낮은 에너지 준위는 1이 되어 허용된 모든 에너지 상태마다 전자가 채워져 있고, 페르미 준위보다 높은 에너지 준위는 0이 되어 모든 에너지 준위가 비어 있습니다.
$$f_{FD}(E) |_{T=0[K]} = \begin{cases}0 & (E>E_F)\\1 & (E<E_F)\end{cases}$$
T=0[K]에서는 열에너지가 0[eV]이므로 높은 에너지 상태로 여기되기 위해 사용할 수 있는 에너지가 없고, 가전자 대역에 존재하는 전자가 높은 에너지 상태로 여기될 수 없기 때문입니다.
또한 허용된 에너지 준위에 전자가 비어 있을 확률은 \(15f_{empty}(E)=1-f_{FD}(E)\)가 됩니다. 허용에너지 준위가 가전자 대역인 경우 비어 있는 자리를 정공으로 정의하였으므로, \(1-f_{FD}(E)\)는 정공이 존재할 확률 또는 정공에 의해 채워져 있을 확률을 나타냅니다. 즉, 가전자 대역에 허용된 에너지 준위가 비어 있을 확률은 아래와 같습니다.
$$f_{empty} | _{h-FD}(E) = f_{h-FD}(E) \equiv 1-f_{FD}(E) = \frac{1}{1+exp(\frac{E_F-E}{kT})} $$
*** 페르미 준위 \((E_F)\)의 의미 ***
페르미 준위는 열평형을 이루고 있어 외부와의 에너지 교환이나 전자의 이동이 없어 전류가 흐르지 않는 상태에서 에너지에 따른 전자의 분포 확률을 나타내는 기준 에너지 준위로 사용됩니다. 또한 어떤 온도에서든 열평형 상태를 이루고 있는 물리적 시스템에서 허용에너지 준위에 전자가 채워져 있을 확률은 50%이며, 이는 또한 비어 있을 확률도 50%인 에너지 준위를 의미합니다. 만약 \(E_F\)가 존재하는 에너지 대역이 가전자 대역이라면 정공이 존재할 확률이 50%인 존재이기도 합니다.
특히 열평형 상태를 이루고 있는 물리적 시스템에서 \(E_F\)는 전 공간에 걸쳐 일정하며, 열평형 상태에서 반도체 내에 존재하는 전자와 정공 농도를 표시하는 기준 에너지 준위로 사용됩니다. 또한 반도체 소자의 전기적 특성이 반도체 내의 전자와 정공의 공간적 분포에 의해 결정되는데, 전자와 정공의 농도 분포에 대한 정보를 포함하고 있는 에너지 대역도를 나타내고 이해하는 기준 에너지 준위이기도 합니다.
from. 35기 이근형